Родился в 1958 г. в Сочи. В 1975 г. в Нальчике окончил с золотой медалью среднюю школу. В 1982 г. с отличием окончил Московский физико-технический институт и поступил в аспирантуру. В 1987 г. получил степень кандидата физико-математических наук в Институте физики твёрдого тела РАН, работал научным сотрудником в ИФТТ АН СССР и в Институте проблем технологии микроэлектроники АН СССР.
В 1990 г. получил стипендию Английского Королевского общества, уехал из СССР. Работал в Ноттингемском, Копенгагенском университете и Манчестерском университетах. Является руководителем Манчестерского центра по «мезонауке и нанотехнологиям» и главой отдела физики конденсированного состояния.
В 2004 г. совместно со своим учеником Константином Новосёловым изобрёл технологию получения графена. За это открытие Институт физики (Великобритания) наградил Гейма медалью Мотта, Гейм и Новоселов получили престижную премию «Еврофизика» и Нобелевскую премию по физике.
Подданный Королевства Нидерландов.