Главная
Главная
О журнале
О журнале
Архив
Архив
Авторы
Авторы
Контакты
Контакты
Поиск
Поиск
Главлит придет, уверенно и беспощадн
Воспоминания и размышления журналиста и деятеля СЖ СССР в связи с приказом ФСБ...
№10
(388)
07.10.2021
Образование
Математическое моделирование как условие проектирования качественных систем образования
(№7 [129] 01.04.2006)
Автор: Владимир Щипанов
Владимир  Щипанов
Целенаправленное проектирование междисциплинарных комплексов (МДК) для формирования профессиональной культуры (ПК) заключается в том, чтобы определить показатели, при которых обеспечивается достижение планируемых результатов. Для организации совокупности управляющих воздействий необходимо знать, какие факторы определяют состояние системы, каковы допустимые границы их варьирования, чтобы система работала надежно и устойчиво.

Как известно, любую систему можно описать математически с помощью полинома n-го порядка, начиная с простейших моделей. Для этого необходимо определить значимые факторы xi (входные параметры) и неизвестные коэффициенты bi при них, то есть задачу сделать «параметрической».

Учёт влияния всех факторов педагогического процесса приводит к задачам большой сложности, поэтому возникает необходимость в выявлении главных факторов или сигналов, определяющих состояние дидактической системы, а также диапазонов их изменения и возможности использования методов факторного анализа для математического моделирования учебного процесса. Отсюда можно сделать вывод о том, что проектирование МДК можно свести к проектированию параметров учебного процесса, на чём мы остановимся подробнее.

Формализуя задачу, мы хотим в результате проектирования получить желаемые показатели качества (продукт функционирования МДК). Продукт идеального качества всегда одинаково реагирует на воздействия (сигналы) потребителя. Если же в ответ на один и тот же сигнал получаются различные реакции, тогда мы имеем качество меньше идеального. Применительно к образованию можно сказать, что если при соблюдении определенного набора психолого-педагогических норм будет достигаться запланированный уровень обученности или сформированности личностных свойств учащихся, то такая дидактическая система будет идеального качества. Для минимизации различий в получении конечных результатов в образовательных системах в ответ на неконтролируемые факторы (шум) и в то же время предельного увеличения возможности получения гарантируемого результата необходимо использовать идеи математической статистики, относящиеся к статистическим методам экспериментального планирования.

Если задаться возможным числом уровней для каждого фактора, то полный перебор всех возможных сочетаний факторов на всех уровнях образуют полный факторный эксперимент (ПФЭ) – один из возможных планов эксперимента [5].

Г. Тагути, рассматривая методы экспериментального планирования, впервые разделил учитываемые факторы на принципиально основные факторы, оказывающие регулирующее действие на результат, и факторы второстепенные. Поскольку обычно разброс условий велик, Г. Тагути предложил характеризовать производимые изделия устойчивостью технических характеристик [16]. Для оценки влияния факторов на результат он использовал идею отношения сигнал/шум, принятую в электросвязи.

В общем виде, если обозначить значение изучаемого параметра на входе через М, составляющие шума через х1, х2, ..., хn , значение параметра на выходе через y, то y будет функцией М и шума:

y = f (M, x1, x2, ..., x n) .

Расчёт устойчивости параметров в соответствии с методами Г. Тагути проводится не сложными трудоемкими и дорогостоящими методами, а новым методом экспериментального планирования с использованием дисперсионного анализа. В процессе экспериментального проектирования значения параметров подбираются таким образом, чтобы сигнал был как можно больше, а шум как можно меньше. Эта идея может быть использована в педагогическом проектировании.

В педагогическом проектировании эффективное управление качеством должно предполагать использование офлайновых методов. С помощью офлайновых методов можно определить требования к рабочим характеристикам учебного процесса, устанавливаемых в виде наилучших (идеальных) значений и допустимых отклонений от них.

Любые проектные работы начинаются с проектирования системы. Проектирование системы – это процесс применения научных знаний, позволяющих создать базовый функциональный опытный проект (опытный образец). С помощью модели опытного образца определяется первоначальный набор основных параметров. Проектирование системы предполагает понимание как потребностей заказчика, так и условия конкретного учебного заведения. Дидактическая система не сможет удовлетворить потребности потребителя, если она не будет спроектирована в соответствии с требованиями ГОСов и учётом голоса потребителя. Обеспечение технологичности учебного процесса требует глубокого знания организационных форм, средств и методов, и других характеристик учебной деятельности.

Проектирование параметров – это процесс установления номинальных значений параметров процесса, которые снизят чувствительность МДК к источникам отклонений (к шумам). Использование математических зависимостей рабочих характеристик от факторов в целях уменьшения чувствительности проекта к источникам отклонений является сущностью проектирования параметров. Проектирование параметров позволяет снизить неустойчивость функционирования посредством уменьшения влияния источников отклонений гораздо лучше, чем их контроль. Поэтому данный метод экономически весьма эффективен при улучшении различных проектов.

Для постановки задачи планирования эксперимента при построении математической модели требуется количественная формулировка цели, которая выражается в количественно определенном параметре оптимизации, который в литературе называют функцией цели, критерием эффективности, критерием оптимальности. Для сложного объекта исследования, каким является педагогическая система, цель это то, что еще не достигнуто, больше того, нельзя быть абсолютно уверенным, что её можно достичь на конкретном объекте исследования, так как её количественная характеристика имеет статистическую природу. Кроме того, параметр оптимизации должен быть определен операционно, то есть должен быть известен способ его измерения для любого состояния объекта. Достижение заданного качества подготовки специалиста является основной целью педагогической системы.

Важной задачей при формализации объекта исследования является установление того разнообразия, в котором экспериментатор должен осуществить выбор, а также необходимо располагать способами воздействия на объект, которые позволили бы получать то или иное различимое состояние. Для этой цели служат факторы. Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент некоторое определённое значение и соответствующая одному из возможных способов воздействия на объект исследования.

Число способов для выбора объекта педагогической системы практически не ограничено, отсюда и огромное число факторов, с которыми приходиться встречаться в реальных педагогических ситуациях. Проектирование любого объекта, в том числе и педагогических систем, как показал Эшби [13], сводится к фиксированию, стабилизации значений ряда факторов.

Существующая практика оптимизации учебно-воспитательного процесса основана большей частью на исследовании уже спроектированных объектов. Несмотря на широкую распространённость такого подхода в педагогике, подробно описанным Ю.К. Бабанским [4], во многих случаях его следует признать логически неудовлетворительным, так как оптимизация проводится на базе возможных ошибочных решений, возникающих при проектировании дидактических систем. Поэтому оптимизацию необходимо проводить уже на стадии проектирования, принимая во внимание управляемость или частичную управляемость объекта исследования, которая позволяет экспериментатору придавать рассматриваемому фактору любое возможное значение и поддерживать это значение до конца опыта.

Как и параметр оптимизации, факторы должны быть определены операционно. Каждый фактор имеет область определения. Требования к факторам – отсутствие корреляции между любыми двумя факторами и совместимости факторов.

После того, как определены параметр оптимизации u , цель системы (сформировать какую-либо конкретную профессиональную культуру) и набор факторов {x i }, определяющих совокупность состояний v объекта исследования, необходимо установить соответствие между набором значений факторов и значениями параметра оптимизации:

u = f (x 1 , x 2 , ..., x n ) , (1)

где u – параметр оптимизации;
xi – факторы, i = 1,2, ..., n.

В дальнейшем мы не будем делать различия между понятиями статистическая математическая модель и функцией (1), которую принято называть функцией отклика [1].

Конечная цель эксперимента состоит в определении набора оптимальных значений факторов и изучении факторного пространства в окрестности этого набора. В соответствии с намеченной программой определяются интервалы варьирования факторов и число значений, которые будут испытываться в эксперименте. Число таких значений определяет количество уровней для каждого фактора.

Чтобы выбрать подходящий план, необходимо сформулировать критерий его оптимальности, который зависит от поставленной цели. Для случая линейной модели в качестве критерия выступает требование ортогональности плана. Ортогональность позволяет получить для коэффициентов уравнения модели оценки, независимые друг от друга, что очень важно при интерпретации. Ортогональной называют такую матрицу, для которой матрица нормальных уравнений метода наименьших квадратов диагональная.

Как следствие, выполнения этих требований, дисперсии коэффициентов не только минимальны, но и равны друг другу [1]. Всё это создаёт идеальные условия для статистического анализа. Так как нужно получить не только коэффициенты модели, план должен быть ненасыщенным, то есть разность между числом опытов и числом искомых коэффициентов f>0, где f – число степеней свободы. В этом случае, кроме оценки всех неизвестных констант, возможна также проверка адекватности выбранной математической модели.

Вычисление коэффициентов – задача, решаемая методом наименьших квадратов. Благодаря оптимальной организации (ортогональности), решение получается очень простым.

Метод наименьших квадратов применяется для нахождения неизвестных коэффициентов полинома, аппроксимирующего исходную функцию. Если степень полинома не задана априори, то расчёты ведутся несколько раз, постепенно увеличивая степень полинома до тех пор, пока полученная модель не станет адекватной.

Для решения задачи составляется Х-матрица – матрица условий эксперимента, состоящая из числа столбцов, соответствующих количеству неизвестных коэффициентов, и числа строк, соответствующих числу опытов. Составляется также Y-матрица значений искомой функции, полученных в результате экспериментов.

Матрица Х прямоугольная, размерами [n x (k+1)], n > k. Пользуясь правилом наименьших квадратов, получим матричную систему нормальных уравнений вида:

(X T x X) B = XT x Y , (2)

где XT – транспонированная матрица условий эксперимента;
В – матрица-столбец искомых коэффициентов полинома математической модели или уравнений регрессии;
(XT x X) – матрица коэффициентов нормальных уравнений регрессии.

Как известно, (XT x X) будет квадратной невырожденной матрицей порядка (k +1). Следовательно, для неё можно найти обратную матрицу (XT x X) – 1. Из равенства (2) можно найти матрицу-столбец В

B = (X T x X) – 1 X T x Y (3)

Это и есть решение задачи нахождения коэффициентов уравнения регрессии.

В развернутом виде из формул (1) – (4) получим выражение для коэффициентов регрессии

Нажмите, чтобы увеличить.
     (4)




где Cij - элементы обратной матрицы.

Если на матрицу эксперимента Х наложить условие ортогональности, то в этом случае матрица (X T x X) будет диагональной. Элементы обратной для диагональной матрицы равны обратным величинам соответствующих элементов прямой матрицы. Именно это обстоятельство позволяет при планировании экспериментов пользоваться простейшими расчетными формулами и делать операцию обращения матрицы практически в уме. Кроме того, это даёт возможность оценивать независимо друг от друга все коэффициенты регрессии.

В педагогических процессах, приступая к эксперименту, мы не располагаем полной информацией об ошибке опыта. Поэтому необходимо проверять однородность дисперсий. Это одно из основных требований регрессионного анализа. Рекомендуется ставить 3-5 опытов в нулевой точке, и вычислять дисперсию, считая, что она справедлива во всех остальных экспериментальных точках [1]. На практике обычно дублируют эксперименты, не прибегая к реализации условий для нулевой точки.

Проверка однородности дисперсии осуществляется с помощью различных статистических критериев. Обычно используется критерии Кохрена, применимые в случаях одинакового числа параллельных опытов во всех точках эксперимента.

По словам Ю.П. Адлера, «Зная дисперсию воспроизводимости, мы знаем все о модели». В самом деле, располагая ошибкой опыта, можно выяснить адекватность полученной модели. [1]

Для проверки адекватности существует критерий Фишера. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о том, что дисперсия относительно модели значимо превышает дисперсию опыта против альтернативы о незначимости различия между этими дисперсиями. Если различие незначимо (обычно 5% уровень значимости), то гипотеза об адекватности модели может быть принята.

Значение критерия Фишера сравнивают с табличным значением для выбранного уровня значимости.

Если линейная модель на первом этапе получения уравнения регрессии оказалась не адекватной, то необходимо учитывать эффекты взаимодействия и вводить дополнительные столбцы в матрицу Х, что приводит к увеличению количества опытов.

Полученная математическая модель может быть использована при решении следующих задач:

– для проектирования технологии обучения;
– для прогнозирования результатов учебного процесса;
– для диагностики учебного процесса;
– для решения задач оптимизации учебного процесса.

Важным этапом анализа является оценка значимости коэффициентов регрессии. Такая оценка важна при интерпретации модели и для дальнейшего обоснования и отсеивания факторов [6].

Основой для оценки значимости коэффициентов регрессии служит построение доверительных интервалов, которое осуществляется следующим образом. Сначала определяется дисперсия коэффициентов регрессии по формуле:

Нажмите, чтобы увеличить.
     (5)





Далее на основании обычной статистической процедуры оценивается доверительный интервал

Нажмите, чтобы увеличить.
(6)



где
– доверительный интервал i-го коэффициента;

t – значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости;
Sbi – квадратичная ошибка коэффициента.

В случае линейной или неполной квадратичной модели доверительные интервалы для коэффициентов регрессии равны друг другу [2].

Располагая значением доверительного интервала, можно проверять значимость коэффициентов, исходя из следующих соображений. С вероятностью, соответствующей выбранному уровню значимости, справедливо соотношение:

Нажмите, чтобы увеличить.
, (7)

Набор возможных факторов в педагогическом процессе представлен на схеме (рис.1). Познавательная деятельность студентов определяется мотивами и условиями. Если создана позитивная мотивация m (состояние обучаемого «хочу», «должен») и полная группа условий по П.Я. Гальперину, то все результаты учебного процесса выравниваются в лучшую сторону, то есть результаты у всех обучаемых становятся стабильными и их дисперсия уменьшается. Следовательно, контролируемые факторы нужно выбирать из этого положения.

Обязательным фактором проектирования любой дидактической системы всегда является мотивация.

Из полной группы условий подбираются в зависимости от цели исследования другие факторы. В случае двухфакторного эксперимента это может быть коэффициент перегрузки


, включающий в себя практически все условия. Для трехфакторного – качество учебной информации Q и качество технологии обучения, определяемое скоростью освоения, и т.д.

Концепция планирования эксперимента дает стратегию, позволяющую справиться с большим разнообразием факторов путём использования априорной информации и последовательного, пошагового выбора оптимальной технологии обучения.

Измеримость объекта удалось разрешить только после становления педагогической квалиметрии. В настоящее время любой качественный показатель педагогического процесса можно сделать параметром, то есть приписать ему какое-то количественное значение [7].


Нажмите, чтобы увеличить.
Рис. 1. Контролируемые факторы учебной деятельности




Планирование эксперимента – это определённая методологическая концепция, прошедшая в своём развитии эффективный путь в промышленности и до сих пор не нашедшая своего применения для социальных систем.

Главным преимуществом этого метода является возможность представить стандартно результаты исследования. Чёткое математическое представление результатов вместе с оценкой неопределенности оказывается очень удобным, отпадает необходимость декларации цели и представления для их достижения десятков таблиц и графиков, а иногда вообще не представлять никаких доказательств их достижения [14].

Проверку качественности выдвинутых гипотез можно осуществлять на первых этапах исследований. Если будет зафиксировано противоречие, то необходимо проверить, возникло ли оно в связи с плохой постановкой задачи или может быть оно обусловлено некорректностью гипотезы. Это и есть реализация обратной связи «эксперимент – интерпретация – эксперимент», которая реализует развитие гипотезы в теорию [10].

Важно отметить, что высказанных при изучении моделей гипотез может оказаться недостаточно для полного объяснения механизма процесса, но все отмеченные факты должны быть объяснены с точки зрения реально действующего процесса. По выходному значению отношения сигнал/шум определяются наиболее выгодные для конкретных условий обучения значения контролируемых факторов.

Широкое внедрение планирования факторного эксперимента (ПФЭ) в педагогическую практику позволит повысить производительность и результативность исследователей, которая в значительной мере определяет качество отечественного образования.

По теореме Бокса для ортогональных матриц планирования достигается минимум дисперсии метода наименьших квадратов (МНК) [3], и множество линейных ортогональных планов совпадает с множеством линейных оптимальных планов. Поэтому линейные ортогональные планы так широко используются при планировании эксперимента.

На начальной стадии отработки методики использования математического моделирования для выбора наилучшего режима функционирования МДК (технологии обучения) в качестве функции отклика была выбрана величина компетентности обучаемых Y, легко определяемая с помощью тестов достижения

,          



Нажмите, чтобы увеличить.






где Nфакт – фактическое количество баллов, набранное студентом;
N max – максимально возможное количество баллов.

Как уже отмечалось выше, одним фактором обязательно должна быть мотивация m. Не бывает немотивированной деятельности. В качестве второго фактора выбираем такой показатель, который как можно шире описывал бы совокупность условий учебной деятельности. В качестве функции отклика у выбираем компетентность обучаемых.

Условия определяются формами, методами, средствами, содержанием и технологиями обучения, для которых в качестве факторов можно принять [12] величины:

N – число учебных элементов;
– уровень усвоения учебной информации;


– ступень фундаментальности учебной информации;


Pa – параметр автоматичности освоения учебной информации;
Тпл. – планируемое время изучения учебной информации;
С – скорость усвоения учебной информации;


– параметр перегрузки обучаемых.


Величина



определяется по формуле:

Нажмите, чтобы увеличить.
,     (7)



поэтому вместо семи простых параметров можно использовать один сложный



, определяемый по формуле (7), оптимизированный по затратам времени.

В этом случае мы имеем два контролируемых фактора m и



, а все остальные относим к шумам. Причём, оба эти параметра вносят одинаковый вклад в результат. Параметр m определяет состояние обучаемого «хочу, должен», а





– «могу, умею», что большинство специалистов считает равнозначными для результатов учебно-воспитательного процесса.

Для обеспечения адекватности математической модели опытным данным и проверки однородности дисперсий необходимо значительное число опытов, которое в условиях динамичного характера учебного процесса осуществить трудно. Здесь лучше всего выбирать одну из общеобразовательных дисциплин, так как всегда можно подобрать достаточное количество учебных групп с одинаковыми стартовыми условиями и из них выбрать случайным образом необходимое число экспериментальных групп, осуществив тем самым рандомизацию.

Полученное уравнение регрессии для компетентности при изучении математики имеет вид

Нажмите, чтобы увеличить.
. (8)




Критерий Фишера подтвердил адекватность полученной линейной модели опытным данным с уровнем значимости


Нажмите, чтобы увеличить.
.



Для интерпретации полученного уравнения построим область изменения факторов (рис. 2), которая задается неравенствами

Нажмите, чтобы увеличить.
.



Для нахождения оптимума геометрическим способом определим вектор



Нажмите, чтобы увеличить.
          (9)



Из (8) имеем

Нажмите, чтобы увеличить.



Подставляя эти данные в формулу (9), получим

Нажмите, чтобы увеличить.



Эвристическая информация заключается в том, что максимум функции отклика будет достигаться в окрестностях точки Д. Следовательно, задав в качестве планируемого показателя компетентности конкретное значение у*, необходимо подобрать значения факторов m и



и заложить их при проектировании МДК.


Нажмите, чтобы увеличить.



Рассмотренные примеры планирования эксперимента при изучении конкретной дисциплины позволяют сделать вывод о том, что факторный анализ можно применять для обоснования показателей качества проектирования технологии реализации МДК. Наличие отношения сигнал/шум дает возможность подбирать рациональные условия обучения для получения планируемых результатов, что позволит в конечном итоге задействовать механизмы управления качеством подготовки специалистов [8].
Рассматриваемая концепция расчета параметров основана на том, что различные воздействия (процесс обучения, внешние условия) будут вызывать статистические отклонения, и задача разработчика создать проект толерантный к статистическим отклонениям [15].


Библиографический список

1. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Изд-во «Металлургия», 1968. - 155 с.
2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 279 с.
3. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. - М.: Радио и связь, 1983. - 248 с.
4. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса: Методические основы. - М.: Просвещение, 1982. - 192 с.
5. Беллтан Р. Динамическое программирование. - М.: Изд-во ин. лит-ры, 1960. - 151 с.
6. Бородюк В.П. Проверка однородности статистических данных в регрессионном анализе // В кн. «Планирование эксперимента / Под ред. Г.К.Круга. - М.: Наука, 1969. - С.12-17.
7. Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента. М.: Наука, 1976. - 223 с.
8. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Модели и механизмы теории активных систем в управлении качеством подготовки специалистов. - М.: ИЦ проблем качества подготовки специалистов, 1998. - 157 с.
9. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. - М.: Высш. школа, 1977. - 479 с.
10. Зетгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. - М.: Наука, 1976. - 147 с.
11. Философия качества по Тагути. Серия «Все о качестве. Зарубежный опыт». Вып.6, 1997 / Пер. с англ. - М.: НТК «Трек», 1997. - 17 с.
12. Чернова Ю.К. Интегральный критерий качества усвоения знаний // Интеграция в педагогике и образовании. - Самара, СИПК, 1994. - с. 39-46.
13. Эшби У. Введение в кибернетику.- М.: Изд-во ин. литер.,1969.-320 с.
14. Box G.E.P., Tidwell P.W. Technometrics, 1962. - V.4. - №4, p. 531.
15. Taguchi G. Linear Graphs for Orthogonal Arrays and their Applications to Experimental Design with the Aid of Varions Technigues // Rep. Stat. App. Res., JUSE, 1959, 6, №4, p.113-175.


____________________________
© Щипанов Владимир Викторович

Мир в фотографиях. Портреты и творчество наших друзей
Фотографии из Фейсбука, Твиттера и присланные по почте в редакцию Relga.ru
Человек-эпоха. К 130-летию Отто Юльевича Шмидта
Очерк о легендарном покорителе арктики, ученом-математике О.Ю.Шмидте.
Интернет-издание года
© 2004 relga.ru. Все права защищены. Разработка и поддержка сайта: медиа-агентство design maximum